Do historii przeszedł 18 marca 1965 r., kiedy z radzieckiego statku kosmicznego Woschod 2 udał się na spacer. Nikt przed nim tego nie dokonał. Leonow spędził poza statkiem 12 minut i 9 sekund, ale nie wszystko poszło zgodnie z planem. W kosmicznej próżni jego skafander nadął się jak balon i Leonow nie mógł się zmieścić we włazie, kiedy chciał już wejść z powrotem do statku. W akcie desperacji spuścił ze skafandra sporo powietrza. Dla uczczenia historycznego spaceru kosmicznego przed bramą Bajkonuru powstał monument, który miejscowi nazywają „pomnikiem rybaka”. Muskularny Aleksiej Leonow szybuje w przestrzeni z rozłożonymi szeroko ramionami. Stąd „rybak”. – Wygląda tak, jakby pokazywał: „taaakaja ryba” – śmieją się mieszkańcy Bajkonuru. Leonow przeszedł do historii jeszcze raz, dekadę później. Był dowódcą Sojuza 19, który 17 lipca 1975 r. połączył się na orbicie okołoziemskiej z amerykańskim statkiem Apollo. Było to pierwsze kosmiczne spotkanie ZSRR i USA. Kiedy kosmonauci i astronauci otworzyli włazy, Aleksiej Leonow uścisnął dłoń dowódcy Apolla Thomasa Stafforda.