Syn Sprawiedliwych wśród Narodów Świata, Jana i Antoniny Żabińskich, którzy ukrywali Żydów w warszawskim ogrodzie zoologicznym. Jako dziecko pomagał rodzicom. Przynosił jedzenie dla ukrywanych Żydów, wśród których były pisarka Rachela Auerbach i rzeźbiarka Magdalena Gross. Ryszard w wywiadzie dla Polskiego Radia w 2009 r. mówił: „Tak, groziła nam śmierć, ale wydaje mi się, że to było naturalne zachowanie. (…) W tych czasach wielu ludzi ryzykowało życie. Można powiedzieć – tak wyglądało życie”. W 1965 r. Jan i Antonina Żabińscy zostali uhonorowani tytułem Sprawiedliwych wśród Narodów Świata. W 2016 r. Ryszard Żabiński jako pierwszy otrzymał nagrodę imienia swoich rodziców przyznawaną Polakom ratującym Żydów przez fundację From the Depths.